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Angoli, archi, e settore circolare

Le unità di misura di un angolo sono:

  1. il grado, definito come Studenti/matematica dell'angolo giro;

  2. il radiante, fa riferimento a una qualsiasi circonferenza ed è l’ampiezza dell'angolo al centro corrispondente ad un arco di lunghezza uguale al raggio della circonferenza.

Per le frazioni di grado, come per le frazioni di ora, si utilizzano il minuto primo che è Studenti/matematica di grado ed è indicato con Studenti/matematica ed il secondo che è Studenti/matematica del minuto primo ed è indicato con Studenti/matematica.

Da queste definizioni ricaviamo intuitivamente le seguenti regole

minuti primi = frazione di grado × 60
1
secondi = frazione di minuto primo × 60
2
frazione di grado = (minuti primi)/60
3
frazione di minuto primo = secondi/60
4

L’ampiezza di un angolo espressa in radianti si calcola secondo la seguente formula

ampiezza di un angolo in radianti =
Studenti/matematica
5
Studenti/matematica

La misura in radianti di un angolo è indipendente dalla circonferenza. Infatti, considerata un’altra circonferenza di raggio Studenti/matematica concentrica alla prima, come mostrato in figura

Studenti/matematica

se Studenti/matematica è la misura dell'arco che l'angolo intercetta su di essa, risulta Studenti/matematica.

Per convertire la misura di un angolo da gradi a radianti e viceversa si utilizza la seguente proporzione

Studenti/matematica

che si può scrivere come

Studenti/matematica

o anche

Studenti/matematica

dove Studenti/matematica e Studenti/matematica indicano la misura in gradi e in radianti dell’angolo Studenti/matematica, rispettivamente.

Da queste, si ricavano le seguenti formule di conversioni da radianti a gradi e da gradi a radianti:

Studenti/matematica
6

Esempio 1

Determinare l’ampiezza in gradi di un angolo di 1 radiante.

Dalla prima delle (6) si ricava:

Studenti/matematica

convertendo la parte decimale in minuti primi e secondi come nella (1) si ha

Studenti/matematica
Studenti/matematica

e quindi l’angolo di 1 radiante corrisponde a circa Studenti/matematica.

Esempio 2

Determinare l’ampiezza in radianti di un angolo di Studenti/matematica.

Dalla seconda delle (6) dalla (1) si ricava:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Ricordando la (5) e le (6), la lunghezza Studenti/matematica dell’arco di circonferenza di raggio Studenti/matematica sotteso da un angolo al centro di misura Studenti/matematica o Studenti/matematica è

Studenti/matematica
7

Esempio 3

Determinare la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio Studenti/matematica sotteso da un angolo al centro di Studenti/matematica radianti.

Dalla seconda delle (7) si ricava

Studenti/matematica

Esempio 4

Determinare la lunghezza di un arco di circonferenza di raggio Studenti/matematica sotteso da un angolo al centro di Studenti/matematica.

Dalla prima delle (7) si ha

Studenti/matematica
8

Fin qui abbiamo parlato dell’angolo e dell’arco corrispondente su una circonferenza di raggio Studenti/matematica. Adesso vediamo anche come si individuano a calcolano le porzioni di cerchio in relazione ad un angolo ed un raggio assegnati.

Un settore circolare è la porzione di un cerchio racchiusa da due raggi e da un arco di circonferenza, come mostrato in figura.

Studenti/matematica

L’area di un settore circolare di una circonferenza di raggio Studenti/matematica, con angolo al centro di misura Studenti/matematica o Studenti/matematica è

Studenti/matematica
9
Studenti/matematica
10

Esempio 5

Calcolare l’area del settore circolare di una circonferenza di raggio Studenti/matematica, con angolo al centro di Studenti/matematica radianti.

Dalla (10) si ricava

Studenti/matematica
11

Esempio 6

Calcolare l’area del settore circolare di una circonferenza di raggio Studenti/matematica, con angolo al centro di Studenti/matematica.

Dalla (9) si ha

Studenti/matematica
12