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L'iperbole come luogo geometrico

Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti del piano per i quali é costante il valore assoluto della differenza delle distanze da due punti fissati detti fuochi.

Studenti/matematica

Indicati con Studenti/matematica e Studenti/matematica i due fuochi e Studenti/matematica punto del luogo deve essere in base alla definizione:

Studenti/matematica

La (1) può assumere la forma

Studenti/matematica
1

quando alla costante k diamo un valore ben definito. Al segmento Studenti/matematica diamo il valore 2c. Il triangolo Studenti/matematica per le sue proprietà ci consente di poter scrivere

Studenti/matematica

ossia

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2

Teorema 1

La retta passante per i fuochi Studenti/matematica Studenti/matematica di un un'iperbole e l'asse del segmento Studenti/matematicaStudenti/matematica sono assi di simmetria della curva.

Teorema 2

Il punto medio del segmento Studenti/matematicaStudenti/matematica é il centro di simmetria dell'iperbole, ad esso si dà il nome di centro dell'iperbole.

Vediamo adesso come si determina l’equazione canonica dell'iperbole, cioè quando i fuochi sono su un asse coordinato ed il centro coincide con l'origine degli assi.

Assumiamo come asse focale (la retta su cui giacciono i due fuochi della curva) l'asse Studenti/matematica, i fuochi avranno coordinate Studenti/matematica e Studenti/matematica.

Scegliamo un generico punto dell'iperbole Studenti/matematica, la (1) si può scrivere:

Studenti/matematica

eliminando il valore assoluto e sviluppando si ha:

Studenti/matematica

valendo la (2) possiamo scrivere

Studenti/matematica

posto ora

Studenti/matematica
3
Studenti/matematica

e dividendo per Studenti/matematica

Studenti/matematica
4

che rappresenta l’equazione canonica dell’iperbole con centro nell’origine degli assi.

Dalla (3) ricaviamo

Studenti/matematica

ed essendo Studenti/matematica

Studenti/matematica

da cui ricaviamole coordinate dei fuochi che risultano essere

Studenti/matematica
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Se i fuochi sono sull'asse Studenti/matematica riscriviamo l’equazione dell’iperbole e facendo delle semplici posizioni otteniamo

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5

Consideriamo ora l’equazione

Studenti/matematica

e riscriviamola come:

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da cui

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essendo il secondo membro dell'equazione positivo sarà così anche il primo membro cioè

Studenti/matematica
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infine

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Queste diseguaglianze ci dicono che l’iperbole non ha punti interni alla striscia limitata dalle rette di equazioni Studenti/matematica e Studenti/matematica che passano per i vertici dell’iperbole, quindi deduciamo che la curva è formata da due rami distinti.

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Esempio 1

Data l’iperbole di equazione

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deteminare vertici, fuochi e asintoti e rappresentare il grafico della curva.

Scriviamo l’equazione dell’iperbole in forma canonica

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L’equazione rappresenta un’iperbole con fuochi sull’asse Studenti/matematica e riferita al centro e agli assi.

Essendo

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e

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gli assi trasverso e non trasverso misurano, rispettivamente,

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I vertici, ossia le intersezioni con l’asse delle x, misurano

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Essendo inoltre

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si determinano le coordinate dei fuochi come

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Analiticamente gli asintoti hanno equazione

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essendo rette passanti per l’origine degli assi quindi abbiamo:

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che razionalizzando diventa

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Geometricamente possiamo ricavare gli asintoti disegnando il rettangolo di lati

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e

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le rette delle diagonali del rettangolo i cui punti di intersezione hanno coordinate 2Studenti/matematica e 2 appartengono agli asintoti i cui coefficienti angolari sono

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