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Posizione reciproca di retta e parabola

Per determinare i punti di intersezione tra una retta Studenti/matematica e parabola é sufficiente risolvere il sistema formato dalle equazioni

Studenti/matematica
1

oppure, nel caso di una parabola con asse di simmetria parallelo all’asse Studenti/matematica

Studenti/matematica

Quindi, le soluzioni, se esistono, del sistema (1) sono le coordinate dei punti di intersezione della retta Studenti/matematica con la parabola.

Per risolvere il sistema sostituiamo nella prima equazione la y espressa dalla seconda equazione. Otteniamo così l’equazione

Studenti/matematica
Studenti/matematica

Come solito per le equazioni di secondo grado andiamo a calcolare il discriminante Studenti/matematica e vediamo quali sono i casi che si presentano in funzione del valore che esso assume.

In questo caso, il discriminante vale

Studenti/matematica

e si possono avere gli usuali tre casi

  1. Se Studenti/matematica abbiamo due radici reali e distinte quindi la retta Studenti/matematica interseca la parabola

  2. se Studenti/matematica abbiamo due radici reali e coincidenti quindi Studenti/matematica è tangente

  3. se Studenti/matematica non abbiamo radici reali quindi la retta é esterna alla parabola

NOTA: Se Studenti/matematica é parallela all’asse di simmetria della parabola, il sistema ammette una soluzione quindi ci sarà un solo punto di intersezione della retta con la parabola.

Per quanto riguarda le intersezioni fra una retta tangente ad una parabola da un punto esterno procediamo alla stesso modo delle altre coniche ossia annullando il discriminante dell’equazione risolvente del sistema fra retta generica per un punto e parabola, cioé:

Studenti/matematica

Scriviamo adesso la formula di sdoppiamento quando Studenti/matematica non é esterno alla parabola ma appartiene alla curva; se indichiamo con Studenti/matematica il punto appartenente alla parabola di equazione Studenti/matematica abbiamo:

Studenti/matematica

se Studenti/matematica appartiene alla parabola di equazione Studenti/matematica allora abbiamo:

Studenti/matematica

Esempio 1

Scrivere le equazioni delle tangenti alla parabola di equazione

Studenti/matematica

condotte dal punto Studenti/matematica e individuare i punti di tangenza.

Scriviamo l’equazione del fascio di rette che passa per il punto Studenti/matematica

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

Mettiamo a sistema le equazioni della curva con quella del fascio per poi individuare la retta tangente. Abbiamo:

Studenti/matematica
2

facendo le opportune sostituzione otteniamo

Studenti/matematica

affinchè la retta sia tangente alla parabola poniamo il delta uguale a zero

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

pertanto, sostituendo i valori di m nell’equazione del fascio, otteniamo le due rette di equazione

Studenti/matematica

Infine, per calcolare i punti di tangenza, sostituiamo nella (2) i valori di m delle due rette tangenti e risolviamo rispetto ad x ed y. Abbiamo dunque

Studenti/matematica

che genera la soluzione

Studenti/matematica

e dall’altra equazione

Studenti/matematica

che genera la soluzione

Studenti/matematica

Ora possiamo disegnare il grafico della parabola con le due tangenti

Studenti/matematica

Esempio 2

Trovare l’equazione della tangente alla parabola

Studenti/matematica

nel suo punto Studenti/matematica di ordinata -3.

Prima di tutto ricaviamo l’ascissa di Studenti/matematica:

Studenti/matematica

pertanto per Studenti/matematica passerà la tangente Studenti/matematica alla parabola. Utilizzando la formula di sdoppiamento abbiamo:

Studenti/matematica
Studenti/matematica
Studenti/matematica

abbiamo infine

Studenti/matematica
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