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Problemi sulla parabola

Nello studio di problemi di geometria analitica capita spesso di non conoscere l’equazione di una curva ma alcune condizioni o informazioni su di essa. Pertanto, analizziamo varie situazioni in cui a partire da certe condizioni possiamo pervenire all’equazione della parabola. Le condizioni di cui parliamo si traducono nello scrivere delle equazioni e metterle a sistema, che una volta risolto ci conduce alla soluzione del problema.

Come si vede dalle equazioni di parabole sia del tipo

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che del tipo

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le incognite sono i tre coefficienti Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica quindi anche in questo caso dobbiamo imporre tre condizioni indipendenti tra loro per la risoluzione dei problemi relativi.

Vediamo alcuni dei casi possibili in cui ci si può imbattere:

Passaggio per tre punti

Un modo semplice ed immediato prevede di imporre le condizioni di appartenenza dei tre punti alla circonferenza, ossia sostituendo nell'equazione della parabola i valori Studenti/matematica con le coordinate di ciascun punto. Si ricava un sistema di tre equazioni nelle tre incognite cercate.

Dati ad esempio i tre punti Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica come in figura

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imponendo il passaggio dei punti per la curva di generica equazione (1) si ottiene il sistema

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poiché le coordinate dei tre punti Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica sono note, il sistema ha solo tre incognite, che sono i parametri Studenti/matematica, Studenti/matematica e Studenti/matematica dell'equazione della parabola. Una volta risolto otterremo la parabola cercata.

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Passaggio per un punto e conoscenza delle coordinate del vertice.

La conoscenza del vertice fornisce due condizioni, infatti sappiamo che il vertice ha coordinate

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poi il passaggio per un punto fornisce la terza condizione.

Quindi detto il vertice

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ed il punto

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il sistema che possiamo scrivere è

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in cui le incognite sono solo i tre coefficienti cercati.

Conoscenza delle coordinate del vertice e del fuoco

Come per il caso precedente, la conoscenza del vertice fornisce due condizioni; la conoscenza del fuoco

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ci fornisce la terza condizione.

Quindi detto il fuoco

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ed il vertice

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il sistema che possiamo scrivere è

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Conoscenza delle coordinate del vertice e della direttrice (equazione)

La conoscenza del vertice fornisce due condizioni; la conoscenza della direttrice

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ci fornisce la terza condizione.

Quindi detto il vertice

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e la direttrice

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il sistema che possiamo scrivere è

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Conoscenza della direttrice, dell’equazione dell’asse e passaggio per un punto

La conoscenza della direttrice ci fornisce una condizione, la seconda si ricava dall’equazione dell'asse di simmetria

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Il passaggio per il punto Studenti/matematica che si può scrivere come

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fornisce la terza condizione.

Quindi detta la direttrice

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e l’asse di simmetria

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il sistema che possiamo scrivere è

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Conoscenza delle tangenza ad una data retta e passaggio per due punti

Imponendo il passaggio dei due punti per la curva di generica equazione (1) si trovano due condizioni; la terza la si trova imponendo la condizione di tangenza (Studenti/matematica) nel sistema tra retta data e parabola generica ossia:

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Esempio 1

Determinare l'equazione della parabola di vertice Studenti/matematica e fuoco Studenti/matematica.

Ci troviamo nel caso 3. per cui dai dati forniti possiamo costruire il sistema come nella (4)

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Risolvendo il sistema abbiamo

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Quindi l'equazione della curva è

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Esempio 2

Determinare l'equazione della parabola di vertice Studenti/matematica e direttrice Studenti/matematica.

Siamo nel caso 4. per cui dai dati forniti possiamo costruire il sistema come nella (5)

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si perviene alle soluzioni

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quindi avremo:

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