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Teoremi sui limiti

In questa sezione illustriamo alcuni importanti teoremi sui limiti, senza darne la dimostrazione.

Teorema 1

Questo teorema prende anche il nome di “Teorema sulla permanenza del segno”.

Data una funzione Studenti/matematica, con Studenti/matematica se

Studenti/matematica

esiste un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica : Studenti/matematica, Studenti/matematica assume lo stesso segno di Studenti/matematica

Possiamo anche invertire il teorema precedente, ossia possiamo dire

Teorema 2

Se esiste un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica, privato di Studenti/matematica, in cui risulta Studenti/matematica (Studenti/matematica), allora se esiste il limite

Studenti/matematica

avremo Studenti/matematica (Studenti/matematica).

Teorema 3

Questo teorema prende anche il nome di “Teorema dell’unicità del limite”.

Una funzione Studenti/matematica, con Studenti/matematica non può avere due limiti distinti in uno stesso punto Studenti/matematica. In altre parole si può anche dire che se una funzione ammette limite per Studenti/matematica tale limite é unico.

Se vogliamo chiarire il teorema dell’unicità del limite, possiamo semplificarlo in questo modo: quando una funzione si “avvicina ad un valore limite” l’intervallo tra il limite ed un punto ad esso vicinissimo non può scindersi e formare due intervalli distinti, rimane unico.

Non diamo una dimostrazione formale di tale teorema ma ci limitiamo a descrivere un metodo, usato frequentemente in matematica, cioè la “dimostrazione per assurdo”: se non vale la tesi (il limite non é unico) allora implica (Studenti/matematica) che l’ipotesi non è valida (la funzione non ammette limite in Studenti/matematica).

Supponiamo per assurdo, contro l'ipotesi del teorema (la funzione ammette un solo limite in Studenti/matematica) che esistano due limiti e dimostriamo che in tal caso non può esistere nessun limite.

Siano i due limiti

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

con Studenti/matematica. Poichè abbiamo ipotizzato Studenti/matematica, la loro differenza in valore assoluto sarà la distanza Studenti/matematica. Allora poniamo se

Studenti/matematica

cioè prendiamo Studenti/matematica pari alla metà della distanza, abbiamo risolto il teorema avendo creato un intervallo troppo corto che non può risolvere i due limiti in quanto è impossibile avere contemporaneamente

Studenti/matematica

e

Studenti/matematica

Perchè l'intervallo Studenti/matematica non può risolvere contemporaneamente i due limiti Studenti/matematica ed Studenti/matematica in quanto la loro distanza Studenti/matematica è maggiore di Studenti/matematica quindi non può esistere il limite.

Teorema 4

Questo teorema prende anche il nome di “Teorema del confronto”.

Siano Studenti/matematica, Studenti/matematica, Studenti/matematica, tre funzioni di Studenti/matematica, con Studenti/matematica, se

Studenti/matematica

se ∃ Studenti/matematica di Studenti/matematica per cui risulta, con Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Studenti/matematica

Il teorema precedente ha un’immediata applicazione per la dimostrazione del limite notevole

Studenti/matematica

Teorema 5

Questo teorema prende anche il nome di “Teorema del confronto per il limite infinito”.

Siano Studenti/matematica, Studenti/matematica, due funzioni di Studenti/matematica, con Studenti/matematica, se

Studenti/matematica

se ∃ Studenti/matematica di Studenti/matematica per cui risulta, con Studenti/matematica

Studenti/matematica

allora si ha

Studenti/matematica

Infine, enunciamo un altro teorema importante per i suoi aspetti applicativi.

Teorema 6

Sia Studenti/matematica una funzione di Studenti/matematica, con Studenti/matematica, se

Studenti/matematica

ed Studenti/matematica, allora esiste un intorno Studenti/matematica di Studenti/matematica per cui si ha

Studenti/matematica

con Studenti/matematica dove Studenti/matematica e Studenti/matematica sono due opportuni numeri positivi.