Equazioni di Primo Grado: spiegazioni, formula, esercizi

Di Redazione Studenti.

Equazioni di primo grado: spiegazione, esercizi, formula. Le equazioni difficili, fratte e a due incognite non avranno più segreti per te

EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Equazioni di primo grado: ecco come si svolgono
Equazioni di primo grado: ecco come si svolgono — Fonte: istock

Stai cercando una spiegazione delle equazioni di primo grado in vista del compito in classe di matematica? Allora sei nel posto giusto. Ecco per te un approfondimento sulle equazioni di primo grado e sulle loro tipologie, con formule ed esercizi, per poter capire la teoria sule equazioni e applicarla al meglio.

TERMINOLOGIA

  • Espressione
    Un insieme di numeri e lettere collegati da operazioni da eseguire su di essi costituiscono un'espressione. Le lettere che compaiono in un'espressione possono avere due diversi significati: possono essere costanti (generalmente indicate con le prime lettere dell'alfabeto: a,b,c,...), o variabili (ed indicate con le ultime lettere dell'alfabeto: x,y,z).
  • Identità
    Si dice identità, l'uguaglianza tra due espressioni verificata per qualunque valore assegnato alle variabili in esse contenute e per cui le espressioni hanno significato. Ad esempio, sono identità le seguenti uguaglianze:

  • Equazione
    Si dice equazione, una uguaglianza tra due espressioni verificata solo per particolari valori (detti soluzioni) assegnati alle variabili (incognite) in essa contenute. Ad esempio:

3x + 2

=

7
1° membro 2° membro

RISOLVERE UN'EQUAZIONE: COSA SIGNIFICA

Risolvere un'equazione significa determinare l' insieme delle soluzioni S, ossia l'insieme di quei particolari valori che, assegnati alle variabili, soddisfano l'equazione trasformandola in uguaglianza. Si noti che, a priori, data un'equazione, non sappiamo se esistono soluzioni.

Potrebbe anche succedere che, risolvendola, si scopra che essa è soddisfatta per qualsiasi valore dell'incognita: in questo caso, scopriamo a posteriori, che l'equazione data era in realtà un'identità.

Quindi, fate attenzione: quando si ha davanti un'equazione (ovvero un'espressione in cui compaiono una o più incognite) il nostro obiettivo è quello di risolverla, ovvero di trovare dei valori che, sostituiti, all'incognita, diano luogo a una identità (ad esempio: 7=7). Non è escluso il caso in cui l'equazione si dimostri essere, a posteriori, un'identità, ovvero verificata per ogni valore dell'incognita che non faccia perdere di significato le operazioni che compaiono.

Ad esempio:
5x-3=4x+1 è un'equazione che ammette come soluzione x=4: infatti, sostituendo alla x tale valore si ottiene l'identità 17=17.
Tra poco vedremo come fare a risolvere un'equazione.
Intanto vediamo una prima classificazione delle equazioni in base all'esistenza e al numero di soluzioni.

TIPOLOGIE DI EQUAZIONI

Un'equazione si dice:
•  determinata, se ammette un numero finito di soluzioni (ad esempio, quella di prima: 5x-3=4x+1)
•  indeterminata, se ammette infinite soluzioni (ad esempio: 2x+1=2x+2-1)
•  impossibile, se non ammette soluzioni (ad esempio: x+1=x-1).
Un'altra classificazione è fatta in base al tipo di espressioni e operazioni che compaiono.
Una prima distinzione si deve fare tra equazioni algebriche e trascendenti.

EQUAZIONI ALGEBRICHE

Le equazioni algebriche sono equazioni in cui, come dice la parola, sull'incognita si effettuano operazioni algebriche (somma, differenza, prodotto, divisione, elevamento a potenza ed estrazione di radice), mentre quelle trascendenti sono equazioni in cui l'incognita compare nell'argomento di funzioni esponenziali, logaritmiche o goniometriche.
In questa parte ci concentriamo sulle equazioni algebriche. Nel seguito, dunque, quando si parlerà genericamente di equazioni, si intenderanno quelle algebriche.

EQUAZIONI TRASCENDENTI

Per le equazioni trascendenti, puoi vedere la sezione ad essa dedicata alle equazioni esponenziali e logaritmiche.
Ancora, considerando sempre classificazioni sulla base delle operazioni che compaiono, possiamo distinguere le equazioni in:

  • Numeriche (se, oltre all'incognita, vi figurano solo numeri);
  • Letterali (se, oltre all'incognita, vi figurano altre lettere, che hanno il ruolo di costanti);
  • Intere (se non ci sono frazioni o, nel caso ci fossero, se l'incognita non compare in nessun denominatore)
  • Fratte (se, al contrario, compare in almeno un denominatore)
  • Razionali (se l'incognita non figura sotto il segno di radice)
  • Irrazionali (se, al contrario, compare sotto il segno di radice; anche qui, come sopra: se vedete radici, non è detto che l'equazione sia irrazionale. Dipende se sotto una o più di quelle radici vi compare l'incognita).

    Esempio:
    Questa è un'equazione algebrica intera (il denominatore c'è ma non vi compare l'incognita), razionale (non ci sono radici), numerica (compaiono solo numeri oltre all'incognita x).

EQUAZIONI RIDOTTE A FORMA NORMALE

Un'equazione algebrica si dice ridotta a forma normale (FN) se il primo membro è un polinomio ridotto e il secondo membro è zero.

Per polinomio ridotto si intende un polinomio in cui non compaiono monomi simili (ovvero, si è già provveduto in precedenza a fare le somme e le semplificazioni). Ad esempio: 3x-4=0 è in FN. Mentre non lo sono: 2x-2=1; 2x2 -3x+x2 =0. In quest'ultimo è necessario sommare tra loro i termini simili in x2 per ottenere un'equazione in FN.

GRADO DI UN'EQUAZIONE

Si dice grado di un'equazione ridotta a FN il grado del polinomio che si trova a primo membro dell'equazione (ovvero, il grado massimo con cui compare l'incognita).
Ad esempio: 5x-2=0 è un'equazione di primo grado. 3x4 +x3 -2=0 è di quarto grado.

RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE

In generale, quando in un esercizio è richiesto di risolvere un'equazione, è necessario fare dei passaggi prima di arrivare alla FN. Da questa è poi possibile, nei modi che si vedranno in seguito per le equazioni di primo e secondo grado, trovare agevolmente le soluzioni dell'equazione assegnata.

Ma come si fa ad arrivare alla FN? Quali sono i passaggi che ci è consentito fare? Prima di vederli, leggi la definizione.

EQUAZIONI EQUIVALENTI

Due equazioni si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
Cioè, se un certo valore dell'incognita è soluzione di una equazione, è soluzione anche per la seconda; e viceversa.

Esempio:
5x-3=2 e 2x+4=6 sono equivalenti perché ammettono la stessa (unica) soluzione x=1.

A questo punto, per risolvere un'equazione, si dovrà fare attenzione, nel fare i calcoli, a passare dall'equazione data a una ad essa equivalente, e da questa ad un'altra ancora equivalente, via via fino ad ottenere un'equazione in FN che, se abbiamo fatto bene i conti, rispettando i principi di equivalenza, sarà equivalente a quella iniziale. Basterà, infine, trovarne le soluzioni e saremo sicuri che queste sono soluzioni anche per quella iniziale.

Vediamo quali sono i principi di equivalenza che ci permettono di trasformare l'equazione data in una, ad essa equivalente, in FN.

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Detto anche di addizione e sottrazione

Aggiungendo o sottraendo ad ambo i membri di una equazione una stessa espressione, contenente o no l'incognita, si ottiene un'equazione equivalente alla data.
Come importante conseguenza, si può trasportare un termine da un membro all'altro purchè lo si cambi di segno (regola del trasporto).
Ad esempio:
5x-3=2 diventa, sottraendo due ad ambo i membri, 5x-3-2=2-2, da cui l'equazione in FN: 5x-5=0.

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA

Detto anche di moltiplicazione e divisione

Moltiplicando o dividendo ambo i membri di una equazione per una stessa espressione algebrica diversa da zero, contenente o no l'incognita, si ottiene una equazione equivalente a quella data.

Ad esempio:

Si può moltiplicare ambo i membri per 6, ottenendo: 3(3x+4)=2(5x+1).
Questa operazione consente di "eliminare" il denominatore. Questo principio ha due importanti conseguenze.
La prima è che, cambiando i segni a tutti i termini di una equazione, se ne ottiene una equivalente a quella data (significa, infatti, moltiplicare per -1 ambo i membri). La seconda è che, se tutti i termini di una equazione hanno lo stesso denominatore (non contenente l'incognita), esso può essere eliminato.
Esempio:

Si possono eliminare i denominatori, ottenendo: 3x+4=5x+1. Questa operazione di eliminazione corrisponde alla moltiplicazione per 6 ad ambo i membri.

Nota: se contiene l'incognita, il denominatore si può comunque eliminare, ma dopo aver stabilito per quali valori dell'incognita esso si annulla, facendo così perdere di significato l'operazione di divisione: questi valori non dovranno essere accettati, qualora alla fine dell'esercizio risultassero soluzioni dell'equazione.

RISOLUZIONE DELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Siamo ora in grado di risolvere un'equazione di primo grado. O meglio, un'equazione algebrica razionale intera di primo grado (a una incognita).

Supponiamo di aver già fatto una serie di calcoli, seguendo i principi di equivalenza, e di essere arrivati a scriverla in FN.
Consideriamola nella sua forma generale (ricorrendo a dei coefficienti letterali, dunque).

Essa sarà della forma:
ax+b=0
Applicando la regola del trasporto, otteniamo:
ax=-b
Infine, dividendo ambo i membri per a, si ottiene la soluzione:
x=-b/a
Naturalmente il coefficiente a dovrà essere diverso da zero, perché l'equazione sia determinata.
Esempio:
3x-2=0
3x=2 (regola del trasporto)
x=2/3 (dividendo ambo i membri per 3)
La soluzione dell'equazione data è: x=2/3.

VERIFICA DELLA RISOLUZIONE DI UN'EQUAZIONE

Verifica
Dopo aver risolto un'equazione, è utile verificare di aver fatto bene i calcoli.
Per farlo, basterà prendere il valore (o i valori) trovato e sostituirlo all'incognita nell'equazione di partenza. Se viene un'identità (ad esempio 5=5), il valore trovato è effettivamente soluzione dell'equazione.
Nel nostro caso, sostituendo x=2/3, si ottiene: 2-2=0, che è un'identità.
Altri esempi:

Facendo il m.c.m ed eliminando il denominatore (secondo principio), si ottiene:
3x -2= 10x - 9x +2

Portando in FN, si ha:
2x - 4=0
che ammette come unica soluzione: x=2.

Vediamo un esempio di equazione impossibile:
3x - 4= 2x + x + 1
0x - 5=0
Come si vede, l'uguaglianza -5=0 non potrà mai essere verificata: l'equazione non ammette soluzioni.

Infine, il caso di equazione indeterminata:

Facendo il m.c.m. ed eliminando il denominatore:
3x - 2= 12x - 9x - 2
che in FN diventa:
0x + 0=0

Ovvero 0=0, che è sempre verificata. Qualsiasi valore della x è soluzione dell'equazione o, se si preferisce, l'equazione è soddisfatta per qualsiasi valore della x. Quindi, l'equazione data si è rivelata essere un'identità.

EQUAZIONI LETTERALI DI PRIMO GRADO

In alcuni esercizi è richiesto di studiare una data equazione (in un'incognita, x), al variare di uno o più parametri che vi compaiono. Un parametro non è altro che una lettera, che ha la funzione di coefficiente numerico. A seconda dei particolari valori che assume, l'equazione potrà avere diversi insiemi di soluzione.

Importante: l'equazione si risolve sempre rispetto a x, ma le soluzioni dipendono dal valore del parametro.
Vediamo un esempio.

Si risolva la seguente equazione rispetto all'incognita x e si discuta al variare dei parametri b e k.
kx - b= -3(1 + 2x)
Sviluppando i passaggi e raccogliendo la x si ottiene:
kx - b= -3 - 6x
kx + 6x= b - 3
x(k+6)=b - 3

Discutiamo ora l'equazione, cioè studiamo al variare dei parametri k,b, la risolubilità dell'equazione.


L'equazione è impossibile: si avrebbe, infatti, 0=b-3 (che è diverso da zero, essendo b diverso da 3)


In questo caso l'equazione è indeterminata. Si ha: 0=0 (un'identità).


L'equazione è determinata e ammette come soluzione (unica):



Qui di seguito troverai lo studio delle equazioni di secondo grado.

EQUAZIONI: TUTTO QUELLO CHE DEVI SAPERE

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