Sistemi di equazioni di primo grado: esercizi e metodi di svolgimento

Di Redazione Studenti.

Sistemi di equazioni di primo grado: studio dei metodi per lo svolgimento (sostituzione, riduzione, confronto, Cramer) ed esercizi pratici

SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO

Se hai un compito di matematica sui sistemi di equazione di primo grado e hai bisogno di fare il punto sull'argomento, sei decisamente nel posto giusto. Ecco un ripasso approfondito dei sistemi di equazione di primo grado e dei metodi per il loro svolgimento, con esempi pratici da seguire.

Se hai bisogno di altre spiegazioni sulle equazioni, a fondo pagina troverai tutti gli argomenti a disposizione sotto forma di guida per il ripasso.

SISTEMI DI EQUAZIONI DI PRIMO GRADO: DEFINIZIONE

Un sistema di equazioni è un insieme di equazioni di cui si cercano soluzioni che "vadano bene" contemporaneamente per tutte le equazioni presenti nel sistema stesso.

Questa argomento è di fondamentale importanza, perché in moltissime applicazioni si devono risolvere uno o più sistemi per giungere ad un risultato. Le applicazioni che interessano a scuola sono essenzialmente legate allo studio dei punti di intersezione tra curve rappresentate in forma cartesiana.

Ma esistono moltissime altre applicazioni ed è stata sviluppata tutta una teoria al riguardo, facendo uso della cosiddetta notazione matriciale, che però a scuola, salvo rari casi, non si studia.

Vediamo di affrontare lo studio dei sistemi di equazioni di primo grado in due variabili (x e y).

Esistono 4 metodi di risoluzione che portano, ovviamente, allo stesso risultato e la cui preferenza dipende unicamente dall'esperienza che si matura con l'esercizio. Probabilmente, troverete più facile o simpatico un metodo in particolare, ma è opportuno imparare a usarli tutti, perché in alcune situazioni si è quasi obbligati a sceglierne uno solo, in quanto gli altri comporterebbero calcoli troppo lunghi.

Consideriamo, quindi, il generico sistema di due equazioni in due incognite in forma canonica:

e vediamo i vari metodi con cui si può risolvere, considerando degli esempi specifici.

METODI DI RISOLUZIONE

Ecco i metodi di risoluzione dei sistemi di equazioni di primo grado, che come abbiamo detto sono essenzialmente quattro.

METODO DI SOSTITUZIONE

Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema e ridotto i monomi simili, si esplicita una delle due equazioni, ossia si ricava un'incognita in funzione dell'altra e la si sostituisce nella restante equazione che, riducendosi ad una equazione di primo grado in una sola variabile, si risolve facilmente.

Infine il valore dell'incognita così ottenuto lo sostituiamo nell'equazione in cui l'altra incognita era stata esplicitata, ottenendo un valore anche per questa seconda incognita.

La coppia di valori che si è trovato, è LA soluzione (al singolare!) del sistema.

Esempio

La soluzione è data dalla coppia (3/2; -13/4). Questa soluzione corrisponde a un punto del piano cartesiano, che è il punto di intersezione delle rette aventi per equazione le due equazioni che costituivano il nostro sistema.

Attenzione: il metodo di sostituzione è il più facile da ricordare e da applicare, ma quando si ha a che fare con un numero maggiore di equazioni e di incognite può diventare molto pesante.

METODO DI RIDUZIONE

Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili e posto il sistema nella forma canonica:

  • Si individua il minimo comune multiplo dei coefficienti di un'incognita
  • Si trova il fattore che consente di ottenere tale m.c.m. (e il suo opposto) per l'incognita considerata.

Questo è un passaggio (mentale) fondamentale ed è estremamente delicato.
Va fatto con molta attenzione perché molto spesso, quando si decide di applicare questo metodo, è qui che si commettono errori.

Si vedrà bene nell'esempio.

  • Si sommano algebricamente in colonna le due equazioni: in questo modo scompare un'incognita
  • Si risolve l'equazione così ottenuta ad una sola incognita 
  • A scelta si può ripetere il procedimento per l'eliminazione dell'altra incognita oppure effettuare il metodo di sostituzione.

Esempio svolto (tralasciamo i passaggi che portano alla forma canonica):

Procediamo cercando di eliminare la x: il m.c.m. tra 12 e 15 è 60, perciò moltiplico nel modo seguente: la prima equazione per 5 (il risultato della divisione tra 60 e 12) e la seconda equazione per -4 (il risultato della divisione tra 60 e 15, cambiato di segno).

In sostanza, si scrivono due equazioni equivalenti a quelle date, ma che presentano i coefficienti di una variabile uguali in valore assoluto ma di segno opposto, in modo di permetterne una facile eliminazione.

Naturalmente, se i coefficienti sono quelli "giusti" già dall'inizio, questo passaggio non serve.

Attenzione ai segni! Moltiplichiamo la seconda equazione per -4 in modo da ottenere -60x, che andrà a semplificarsi, dopo aver sommato le due equazioni, con il +60x della prima equazione.

Avete molto margine di manovra in questo passaggio: potete decidere liberamente quale equazione moltiplicare per un coefficiente negativo (noi abbiamo scelto la seconda); l'importante è che lo facciate rispettando le regole! Moltiplicare per -4 un'equazione vuol dire moltiplicare per -4 tutti i termini che compaiono in quell'equazione.

Andiamo avanti, dunque:

Dopo la somma delle due equazioni, come si vede, rimane un'equazione nella sola variabile y che si risolve immediatamente.

Alcuni professori esigono che si continuino a scrivere entrambe le equazioni nel sistema, copiando ad ogni passaggio in una riga una delle due equazioni (che tanto non viene utilizzata) e portando avanti i calcoli nella seconda riga (nel nostro caso, possiamo copiare 12x+y=9 e portiamo avanti 9y=-27).

Una volta ricavato un valore per la y, si sostituisce in una delle equazioni di partenza oppure si ripete il ragionamento di prima, riducendo la y. In questo caso, come si vede subito, non c'è bisogno di trovare nessun m.c.m.: è già tutto pronto per la riduzione. Riprendiamo il nostro sistema:

e riduciamo la y, sommando le due equazioni:

Il risultato finale è:

METODO DEL CONFRONTO

Il metodo del confronto è una variante del metodo di sostituzione.

Dopo aver effettuato tutte le operazioni presenti nel sistema, ridotto i monomi simili, occorre esplicitare entrambe le equazioni rispetto alla stessa variabile ed uguagliarle.

Si ottiene così un'equazione in una sola incognita, facilmente risolvibile.

Il valore ottenuto si sostituisce in una delle due equazioni di partenza.

Il principio di base da ricordare quando si applica questo metodo è questo: se A=C e B=C, allora A e B devono essere uguali.
Ovvero, se A e B sono uguali alla stessa cosa, devono essere uguali tra loro!
Esempio svolto:

Come si vede, nel caso dei sistemi, si ottiene una cosa di questo tipo: y=A, y=B, quindi devo uguagliare A e B, cosa che si fa nel passaggio successivo:


METODO DI CRAMER

Dopo aver posto il sistema nella forma canonica

chiamiamo delta, delta x, delta y, rispettivamente, le seguenti espressioni:


Le soluzioni si trovano con queste formule:

Dovrà essere necessariamente:

Se delta =0, allora il sistema è indeterminato o impossibile (dipende dalla relazione tra c e c'). Si fanno le stesse considerazioni che riguardano lo studio della posizione reciproca tra due rette.

Esempio:

Come si vede, il metodo di Cramer è molto veloce e puramente meccanico nella sua applicazione.

EQUAZIONI: TUTTO QUELLO CHE DEVI SAPERE

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